Cercles de Johnson

Cercles de Johnson
Cercles de Johnson et cercle circonscrit aux trois points d'intersection

En géométrie plane, les cercles de Johnson sont trois cercles de même rayon et ayant un point H en commun. Les trois autres points d'intersection des cercles entre eux possèdent de nombreuses propriétés.

Il se peut, dans le cas où deux des cercles sont tangents, qu'un des points soit confondu avec H mais, même dans ce cas particulier, les résultats énoncés ci-dessous restent valides.

Sommaire

Théorème de Johnson

Roger Johnson démontre vers 1916[1] que ces trois points sont sur un cercle de même rayon que les trois premiers cercles.

Démonstration : une démonstration consiste à mettre en évidence une série de losanges.

Cercles de Johnson avec les trois losanges complétés par le point O qui donne l'illusion d'un dessin de cube en perspective

Si on appelle JA, JB, JC les centres des trois cercles Γa, Γb, Γc de rayon r, H leur point de concours et A, B et C les points d'intersections respectifs de Γb etΓc, de Γc et Γa, de Γa et Γb, on observe la présence de trois losanges de côté r :

JACJBH, JBHJCA, JCHJAB.

On construit alors le point O tel que BJACO soit un parallélogramme. Ce parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de longueur r c'est un losange de côté r.

De plus, on obtient les égalités vectorielles suivantes :

 \overrightarrow{OC}= \overrightarrow{BJ_A}= \overrightarrow{J_CH} =\overrightarrow{AJ_B}.

Le quadrilatère AJBCO est donc un parallélogramme, ce parallélogramme possède deux côtés consécutifs de longueur r. C'est donc un losange de côté r.

On obtient ainsi les égalités

r = OA = OB = OC.

On prouve ainsi que les trois points sont sur un cercle de centre O et de rayon r.

Système orthocentrique

On peut d'autre part observer que le point H est orthocentre du triangle ABC.

En effet, dans les losanges définis précédemment, le vecteur \scriptstyle \overrightarrow{HC} est orthogonal à la droite (JAJB). Or les égalités vectorielles précédentes permettent de dire que le quadrilatère BJAJBA est un parallélogramme. Le vecteur \scriptstyle \overrightarrow{HC} est donc aussi orthogonal à (AB).

Il en est de même du vecteur \scriptstyle \overrightarrow{HB} et de la droite (AC) ainsi que du vecteur \scriptstyle \overrightarrow{HA} et de la droite (BC). Le point H est bien orthocentre du triangle (ABC).

Triangle de Johnson

On appelle triangle de Johnson, le triangle formé par les centres des trois cercles. Ce triangle est le symétrique du triangle formé par les points d'intersection des trois cercles, par rapport au centre du cercle des neuf points commun aux deux triangles.

Cercles de Johnson et triangle anticomplémentaire

Démonstration : Si on appelle PA, PB, PC, les points diamétralement opposés à H dans les cercles Γa, Γb, Γc, le point H est centre du cercle circonscrit au triangle PAPBPC.

Puisque JAHJBC est un parallélogramme, il en est de même de PAJAJBC. Il y a donc égalité des vecteurs \scriptstyle \overrightarrow{J_AJ_B} et \scriptstyle \overrightarrow{P_AC}. De même, les vecteurs \scriptstyle \overrightarrow{J_AJ_B} et \scriptstyle \overrightarrow{CP_B} sont égaux. Le point C est donc milieu de PAPB. De même, le point B est milieu de PCPA et le point A est donc milieu de PCPB.

Le triangle PAPBPC est l'image du triangle (ABC) par l'homothétie de centre G, l'isobarycentre du triangle, et de rapport -2. Le triangle JAJBJC étant l'image du triangle PAPBPC par l'homothétie de centre H et de rapport 1/2, il est aussi l'image de (ABC) par la composée de ces deux homothéties, c'est-à-dire par une homothétie de rapport -1 et de centre J, barycentre des points G et H affectés des coefficients -3/2 et -1/2. Or ce point correspond au centre du cercle des neuf points du triangle ABC. Par symétrie, c'est aussi le centre du cercle des neuf points du triangle de Johnson.

On peut remarquer en outre que les deux triangles ont même droite d'Euler qui, passant par J, reste globalement invariante par la symétrie de centre J et que les points O et H, centres respectifs des cercles circonscrits aux deux triangles sont également symétriques par rapport à ce point.

Note et référence

  1. David Wells, dans Le dictionnaire Penguin des curiosités géométriques, Eyrolles, 1995 (ISBN 978-2-212-03637-4)

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Johnson's Theorem », MathWorld


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Cercles de Johnson de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Théorème de Johnson — Cercles de Johnson Cercles de Johnson et cercle circonscrit aux trois points d intersection En géométrie plane, les cercles de Johnson sont trois cercles de même rayon et ayant un point en commun. Les trois autres point d intersection des cercles …   Wikipédia en Français

  • Triangle de Johnson — Cercles de Johnson Cercles de Johnson et cercle circonscrit aux trois points d intersection En géométrie plane, les cercles de Johnson sont trois cercles de même rayon et ayant un point en commun. Les trois autres point d intersection des cercles …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Triquetra — entrelacé En symbologie, un triquetra (mot dérivé du latin tri , « trois » et quetrus, « coins ») est un symbole constitué de trois vesicae piscis, parfois accompagné d un cercle intérieur ou extérieur[1] …   Wikipédia en Français

  • Robert Browning — Pour les articles homonymes, voir Browning. Robert Browning …   Wikipédia en Français

  • Thématique de l'œuvre poétique de Robert Browning — Pour les articles homonymes, voir Browning. Robert Browning, daguerréotype par Josiah Johnson Hawes (1808 1901). La thématique de l œuvre poétique de Robert Browning (1812 1889 …   Wikipédia en Français

  • Solide de Platon — En géométrie euclidienne, un solide de Platon est un polyèdre régulier et convexe. Entre les polygones réguliers et convexes de la géométrie plane, et les polyèdres réguliers convexes de l’espace à trois dimensions, il y a une analogie, mais… …   Wikipédia en Français

  • Théorème japonais — En géometrie, le théorème japonais dit que quelle que soit la manière dont on triangule un polygone inscriptible, la somme des rayons des cercles inscrits dans ces triangles est constante …   Wikipédia en Français

  • ÉTATS-UNIS - La littérature américaine — Le goût qu’ont les lecteurs européens pour la littérature des États Unis n’est pas une mode passagère. On a pu croire que les troupes de la Libération avaient apporté Hemingway dans leurs bagages et que l’âge du roman américain ne durerait pas.… …   Encyclopédie Universelle

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”