Identité de Binet-Cauchy

Identité de Binet-Cauchy

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, l’identité de Binet–Cauchy, due à Jacques Philippe Marie Binet et Augustin-Louis Cauchy, dit que[1] :

\biggl(\sum_{i=1}^n a_i c_i\biggr) \biggl(\sum_{j=1}^n b_j d_j\biggr) = \biggl(\sum_{i=1}^n a_i d_i\biggr) \biggl(\sum_{j=1}^n b_j c_j\biggr) + \sum_{1\le i < j \le n} (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i )

pour des ensembles quelconques de nombres réels ou complexes (ou, plus généralement, d'éléments d'un anneau commutatif). Dans le cas particulier où ai = ci et bi = di, elle se réduit à l'identité de Lagrange.

Sommaire

Relation avec l'algèbre extérieure

Utilisant le produit scalaire et le produit extérieur (qui s'identifie, pour n = 3, avec le produit vectoriel), l'identité peut s'écrire

(a \cdot c)(b \cdot d) = (a \cdot d)(b \cdot c) + (a \wedge b) \cdot (c \wedge d)\,

où a, b, c, et d sont des vecteurs à n coordonnées. On peut encore la voir comme une formule donnant le produit scalaire de deux produits extérieurs en fonction de produits scalaires :

(a \wedge b) \cdot (c \wedge d) = (a \cdot c)(b \cdot d) - (a \cdot d)(b \cdot c).\,

Dans le cas particulier de vecteurs égaux (a=c et b=d), la formule devient (identité de Lagrange)

|a \wedge b|^2 = |a|^2|b|^2 - |a \cdot b|^2 .

Démonstration

Développant le dernier terme, et ajoutant et retranchant des sommes complémentaires bien choisies, on obtient :

\sum_{1\le i < j \le n} (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i )
= \sum_{1\le i < j \le n} (a_i c_i b_j d_j + a_j c_j b_i d_i) +\sum_{i=1}^n a_i c_i b_i d_i - \sum_{1\le i < j \le n} (a_i d_i b_j c_j + a_j d_j b_i c_i) - \sum_{i=1}^n a_i d_i b_i c_i ,

ce qui permet de regrouper ainsi  :

= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i c_i b_j d_j - \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i d_i b_j c_j.

Factorisant les termes indexés par i, l'identité ne résulte.

Généralisation

Une forme plus générale, connue comme la formule de Binet-Cauchy, dit que, si A est une matrice m×n et B est une matrice n×m , on a

\det(AB) = \sum_{\scriptstyle S\subset\{1,\ldots,n\}\atop\scriptstyle|S|=m} \det(A_S)\det(B_S),

où, S étant un sous-ensemble de {1, ..., n} ayant m éléments, AS est la matrice m×m dont les colonnes sont celles de A ayant leurs indices dans S, et de même BS est la matrice m×m formée des lignes de B d'indices dans S ; dans cette formule, la somme est prise sur tous les sous-ensembles possibles.

L'identité de Binet-Cauchy s'en déduit comme cas particulier, en posant

A=\begin{pmatrix}a_1&\dots&a_n\\b_1&\dots& b_n\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}c_1&d_1\\\vdots&\vdots\\c_n&d_n\end{pmatrix}.

Notes et références

  1. ↑ (en) Eric W. Weisstein, CRC concise encyclopedia of mathematics, CRC Press, 2003, 2e éd. (ISBN 978-1-58488347-0), p. 228 

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Identité de Binet-Cauchy de Wikipédia en français (auteurs)

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