Axiome (Mathématiques Élémentaires)

Axiome (Mathématiques Élémentaires)

Axiome

Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui doit être admise. Pour certains philosophes grecs de l'Antiquité, un axiome était une affirmation qu'ils considéraient comme évidente et qui n'avait nul besoin de preuve.

Le mot vient de αξιοειν (axioein), signifiant « considéré comme digne », lui-même dérivé de αξιος (axios), signifiant « digne ».

Sommaire

Description

Épistémologique

En épistémologie, un axiome est une vérité évidente en soi sur laquelle une autre connaissance peut se reposer, autrement dit peut être construite dessus. Précisons que tous les épistémologues n'admettent pas que les axiomes, dans ce sens du terme, existent. Dans certains courants philosophiques, comme l'objectivisme, le mot axiome a une connotation particulière. Un énoncé est axiomatique s'il est impossible de le nier sans se contredire. Exemple : « Il existe une vérité absolue » ou « Le langage existe » sont des axiomes.

Mathématique

En mathématiques, le mot axiome désignait une proposition qui est évidente en soi dans la tradition mathématique grecque, comme dans les Éléments d'Euclide. L'axiome est utilisé désormais, en logique mathématique, pour désigner une vérité première, à l'intérieur d'une théorie. L'ensemble des axiomes d'une théorie est appelé axiomatique. Cette axiomatique doit être non-contradictoire ; c'est sa seule contrainte. Cette axiomatique définit la théorie ; ce qui signifie que l'axiome ne peut être remis en cause à l'intérieur de cette théorie, on dit alors que cette théorie est consistante. Un axiome représente donc plutôt un point de départ dans un système de logique et il peut être choisi arbitrairement. La pertinence d'une théorie dépend de la pertinence de ses axiomes et de son interprétation. En réalité, c'est de la non cohérence de son interprétation que vient la réfutation de la théorie non-contradictoire et, par voie de conséquence, de son axiomatique. L'axiome est donc à la logique mathématique, ce qu'est le postulat à la physique théorique. Des axiomes servent de base élémentaire pour tout système de logique formelle. Par exemple, on peut définir une arithmétique simple, comprenant un ensemble de 'nombre' et une loi de composition interne + à cet ensemble, en posant (en s'inspirant un peu de Peano) :

  1. un nombre noté 0 existe
  2. tout nombre X a un successeur noté succ(X)
  3. X+0 = X
  4. succ(X) + Y = X + succ(Y)

Beaucoup de théorèmes peuvent être démontrés à partir de ces axiomes.

En utilisant ces axiomes, et en définissant les mots usuels 1, 2, 3, et ainsi de suite pour désigner les successeurs de 0 : succ(0), succ(succ(0)), succ(succ(succ(0))) respectivement, nous pouvons démontrer ce qui suit:

succ(X) = X + 1 (axiome 4 et 3)

et

1 + 2 = 1 + succ(1) Expansion de l'abréviation (2 = succ(1))
1 + 2 = succ(1) + 1 Axiome 4
1 + 2 = 2 + 1 Expansion de l'abréviation (2 = succ(1))
1 + 2 = 2 + succ(0) Expansion de l'abréviation (1 = succ(0))
1 + 2 = 2 + 1 = succ(2) + 0 = 0 + succ(2) Axiome 4
1 + 2 = 3 = 0 + 3 Axiome 3 et utilisation de l'abréviation (succ(2) = 3)
0 + 1 = 1 + 0 = 1 Axiome 4 et 3 (1+0=1)
X+ succ(X)=succ(X) +X pour tout X Axiome 4.

Tout résultat que nous pouvons déduire des axiomes n'a pas besoin d'être un axiome. Toute affirmation qui ne peut être déduite des axiomes et dont la négation ne peut pas non plus se déduire de ces mêmes axiomes, peut raisonnablement être ajoutée comme axiome.

Probablement le plus ancien et aussi le plus célèbre système d'axiomes est celui des 4+1[1] postulats d'Euclide. Ceux-ci s'avèrent être assez incomplets actuellement, et beaucoup plus de postulats sont nécessaires pour caractériser complètement la géométrie d'Euclide (Hilbert en a utilisé 26 dans son axiomatique de la géométrie euclidienne).

Chacun de ces choix nous donne différentes formes alternatives de géométrie, dans lesquelles les mesures des angles intérieurs d'un triangle s'ajoutent pour donner une valeur inférieure, égale ou supérieure à la mesure de l'angle formé par une droite (angle plat). Ces géométries sont connues en tant que géométries elliptiques, euclidiennes et hyperboliques respectivement. La relativité générale est basée essentiellement sur une affirmation que la masse donne à l'espace une courbure, c'est-à-dire que l'espace physique n'est pas euclidien.

Le fait que des formes alternatives de géométrie pouvaient exister, préoccupa beaucoup les mathématiciens du XIXe siècle et dans des développements semblables, par exemple en algèbre booléenne, ils faisaient généralement des efforts pour déduire les résultats des systèmes d'arithmétique ordinaire. Galois a montré que tous ces efforts étaient en grande partie gaspillés, et que les développements parallèles des systèmes axiomatiques pouvaient être utilisés à bon escient, de la même manière qu'il résolut algébriquement beaucoup de problèmes de géométrie classique.

Finalement, les similitudes abstraites existant entre les systèmes algébriques furent perçues comme plus importantes que les détails et l'algèbre moderne était née.

Au XXe siècle, le théorème d'incomplétude de Gödel prouve qu'aucune liste explicite d'axiomes suffisante pour déduire le principe de récurrence sur les entiers ne pourrait être à la fois complète (chaque proposition peut être démontrée ou réfutée à l'intérieur du système) et consistante (aucune proposition ne peut être à la fois démontrée et réfutée).

Notes

  1. Il est précisé ici 4+1 parce que le cinquième postulat (par un point en dehors d'une droite, il passe exactement une parallèle à cette droite) a été suspecté d'être une conséquence des 4 premiers pendant presque deux millénaires. Finalement, le cinquième postulat s'est avéré être indépendant des quatre premiers. En effet, nous pouvons supposer qu'aucune parallèle ne passe par un point situé en dehors d'une droite, ou qu'il existe une unique parallèle, ou encore qu'il en existe une infinité.

Bibliographie

  • Robert Blanché, L’Axiomatique – 1955, éd. P.U.F. coll. Quadrige, 112p

Voir aussi

Wiktprintable without text.svg

Voir « axiome » sur le Wiktionnaire.

Articles connexes

Lien externe

  • Portail de la logique Portail de la logique
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Axiome ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Axiome (Mathématiques Élémentaires) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Axiome (mathematiques elementaires) — Axiome Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui doit être admise. Pour certains philosophes grecs de l Antiquité, un axiome était une… …   Wikipédia en Français

  • Axiome (mathématiques élémentaires) — Axiome Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui doit être admise. Pour certains philosophes grecs de l Antiquité, un axiome était une… …   Wikipédia en Français

  • Logique (mathématiques élémentaires) — La logique est le lieu où le langage puis les axiomes (logiques ou propres à certaines théories) des mathématiques sont définis ce qui est à la base des démonstrations en mathématique. Bien qu elle apparaisse de manière cachée dans toute l… …   Wikipédia en Français

  • Logique (mathematiques elementaires) — Logique (mathématiques élémentaires) Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités …   Wikipédia en Français

  • PPCM (mathématiques élémentaires) — Plus petit commun multiple En mathématiques et plus précisément en arithmétique, le plus petit commun multiple, en abrégé PPCM (noté lcm en anglais pour least common multiple), de deux entiers naturels a et b, est le plus petit entier qui soit à… …   Wikipédia en Français

  • Mathematiques — Mathématiques Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques… …   Wikipédia en Français

  • Mathématiques — Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques désignent aussi le… …   Wikipédia en Français

  • MATHÉMATIQUES (FONDEMENTS DES) — Au sens premier et fort, le mot «fondement» désigne la base, jugée inébranlable, sur laquelle repose un corps d’énoncés, un système de connaissances, un complexe de croyances ou de conduites. «Reposer sur la base» signifie ici «trouver en elle à… …   Encyclopédie Universelle

  • Axiome De Séparation — Schéma d axiomes de compréhension Le schéma d axiomes de compréhension, ou schéma d axiomes de séparation est un schéma d axiomes de la théorie des ensembles introduit par Zermelo dans sa théorie des ensembles, souvent notée Z. On dit souvent en… …   Wikipédia en Français

  • Axiome de compréhension — Schéma d axiomes de compréhension Le schéma d axiomes de compréhension, ou schéma d axiomes de séparation est un schéma d axiomes de la théorie des ensembles introduit par Zermelo dans sa théorie des ensembles, souvent notée Z. On dit souvent en… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”