Théorème de kronecker

Théorème de kronecker

Théorème de Kronecker

Leopold Kronecker

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, le théorème de Kronecker traite des groupes abéliens finis.

Le théorème de Kronecker est aussi appelé théorème fondamental des groupes abéliens finis. Il stipule que tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit direct de groupes cycliques.

Ce théorème doit son nom à Leopold Kronecker (1823-1891) qui l'a démontré la première fois en 1870 dans un article intitulé Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenzahl idealer complexer Zahlen Monatsber.

Sommaire

Enoncé du théorème

Soit G un groupe abélien fini.

  • Il existe une unique suite (a1,a2,...,ak) d'entiers > 1 telle que G soit isomorphe au produit direct des groupes cycliques de cardinal les différents éléments de la suite:
G\simeq \mathbb{Z}/a_1\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/a_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/a_k\mathbb{Z}\;,
et que ai+1 divise ai pour tout i entier entre 1 et k - 1.
  • Les éléments de cette suite sont appelés facteurs invariants de G.

Démonstration

Il existe de nombreuses manières de démontrer ce théorème. Une des méthodes les plus expéditives utilise la théorie des représentation des groupes. La démonstration se trouve au paragraphe représentation de groupe fini commutatif. Il en existe d'autres utilisant par exemple les caractères. La démonstration proposée ici reste dans le cadre strict de la théorie des groupes. Elle se fonde sur une décomposition en somme directe.

La démonstration se fonde sur la construction d'un projecteur φ dont l'image est le groupe cyclique C1 d'ordre θ l'exposant du groupe. Les projecteurs d'un groupe abélien sont étudiés dans le paragraphe Projecteur de l'article Produit direct (groupes).

Soit B une famille génératrice (g1,g2,...,gk) tel que l'ordre de g1 soit égal à θ. Une telle famille existe toujours car le groupe est fini. Il est toujours possible d'adjoindre à cette famille un élément g1 d'ordre θ.

La technique consiste à définir le morphisme sur C1 comme étant égal à l'identité, puis de prolonger ce morphisme sur le groupe engendré par g1 et g2 puis sur le groupe engendré par g1, g2 et g3 jusqu'à gk. La démonstration procède donc par récurrence sur k.


Généralisations

  • Un théorème structurel existe aussi dans le cas où le groupe n'est plus fini mais de type fini.

Références

Liens externes

Références

S. Lang Algebre Dunod 2004
J.F. Labarre La theorie des groupes Presses Universitaires de France (PUF) 1978
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de Kronecker ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de kronecker de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de Kronecker — Théorème de Kronecker Leopold Kronecker En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, le théorème de Kronecker traite des groupes abéliens finis. Le théorème de Kronecker est aussi appelé théorème fondamental des groupes abéliens finis.… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Kronecker — Cet article concerne la structure des groupes abéliens finis. Pour d autres notions ou résultats portant le nom de Kronecker, voir Leopold Kronecker. Leopold Kronecker En a …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Kronecker-Weber — Théorème de Kronecker Weber Le théorème de Kronecker Weber établit en théorie algébrique des nombres le résultat suivant : chaque extension abélienne finie du corps des nombres rationnels , ou en d autres mots chaque corps de nombres… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de kronecker-weber — Le théorème de Kronecker Weber établit en théorie algébrique des nombres le résultat suivant : chaque extension abélienne finie du corps des nombres rationnels , ou en d autres mots chaque corps de nombres algébriques avec un groupe de… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Kronecker-Weber — Le théorème de Kronecker Weber établit en théorie algébrique des nombres le résultat suivant : toute extension abélienne finie du corps des nombres rationnels, c est à dire tout corps de nombres algébriques dont le groupe de Galois sur est… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Hilbert-Speiser — Théorème de Hilbert Speiser En mathématiques, le théorème de Hilbert Speiser est un résultat sur les corps cyclotomiques, caractérisant ceux avec une base intégrale normale. Plus généralement, il s applique à toute extension abélienne K du corps… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de hilbert-speiser — En mathématiques, le théorème de Hilbert Speiser est un résultat sur les corps cyclotomiques, caractérisant ceux avec une base intégrale normale. Plus généralement, il s applique à toute extension abélienne K du corps des nombres rationnels . Le… …   Wikipédia en Français

  • Kronecker — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Kronecker peut désigner Leopold Kronecker (1823 1891), un mathématicien et logicien allemand, et dont les articles suivants portent le nom :… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de structure des groupes abéliens de type fini — Le théorème de structure des groupes abéliens de type fini fournit une classification très explicite des groupes abéliens de type fini à isomorphisme près. Entre autres informations, il indique que tout groupe abélien de type fini est un produit… …   Wikipédia en Français

  • Kronecker Jugendtraum — Le théorème de Kronecker Weber, d abord annoncé par Kronecker, dont la démonstration fut complétée par Weber et Hilbert, décrit les extensions abéliennes du corps des rationnels. Celles ci sont contenues dans les extensions cyclotomiques, c est à …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”