Théorème de Millman

Théorème de Millman

Le théorème de Millman est une forme particulière de la loi des nœuds exprimée en termes de potentiel. Il est ainsi nommé en l'honneur de l'électronicien américain Jacob Millman.

Sommaire

Énoncé

Illustration du théorème de Millman

Dans un réseau électrique de branches en parallèle, comprenant chacune un générateur de tension parfait en série avec un élément linéaire, la tension aux bornes des branches est égale à la somme des forces électromotrices respectivement multipliées par l'admittance de la branche, le tout divisé par la somme des admittances.

V_m=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N E_k.Y_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^N Y_k}=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{E_k}{Z_k}}{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{1}{Z_k}}

Dans le cas particulier d'un réseau électrique composé de résistances :

V_m=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N E_k.G_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^N G_k}=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{E_k}{R_k}}{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{1}{R_k}}

On peut aussi le généraliser avec des générateurs de courants. S'il y a, toujours en parallèle, des courants Ik connus injectés vers le même point M, alors on peut écrire :

V_m=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N E_k.G_k+\sum_{k=1}^P I_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^N G_k}=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{E_k}{R_k}+\sum_{k=1}^P I_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{1}{R_k}}


Avec G, la conductance. On remarque que la présence de générateurs de courants ne modifie pas le dénominateur.

Exemple

Exemple d'application du théorème de Millman
  • Sur la figure ci-contre, la tension Vab (ou Vm ), a été calculée en suivant la formule du théorème de Millman:
V_{ab}=\frac{\dfrac{V_1}{R_1}+\dfrac{V_2}{R_2}+\dfrac{V_3}{R_3}}{\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3}} =\frac{\dfrac{10}{5}+\dfrac{0}{8}+\dfrac{-12}{3}}{\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{3}} = -3V
  • Le signe négatif signifie que le point a est négatif par rapport à la masse commune.

Autre exemple: Il n'est pas nécessaire que les sources de tension soient parfaites, celles-ci peuvent inclure des résistances même de forte valeur.

générateurs réels
V =\frac{\dfrac{E_1}{R_1+R_2}+\dfrac{E_2}{R_3+R_4}}{\dfrac{1}{R_1+R_2}+\dfrac{1}{R_3+R_4}}


V =\frac{\dfrac{V_1}{R_1}+\dfrac{V_2}{R_3}}{\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_3}}

Applications

Ce théorème s'utilise avantageusement si Vm est nulle (par exemple, la tension différentielle d'un AOP en régime linéaire), le dénominateur n'a pas besoin alors d'être formulé.

Voir aussi

Articles connexes


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