Théorème de Hopf-Rinow

Théorème de Hopf-Rinow

Soit ( M,g) une variété riemannienne connexe. Le théorème de Hopf-Rinow dit que les propriétés suivantes sont équivalentes :

Le théorème porte les noms de Heinz Hopf et de son étudiant Willi Rinow (1907–1979).

Exemples

  • Le théorème de Hopf-Rinow entraine que toutes les variétés riemaniennes compactes, connexes sont géodésiquement complètes. Par exemple, la sphère est géodésiquement complète.
  • L'espace euclidien \R^n et les espaces hyperboliques sont géodésiquement complets.
  • L'espace métrique M := \mathbb{R}^2 \setminus \{0\} avec la métrique euclidienne induite n'est pas géodésiquement complet. Si on choisit en effet un point p = (x_1,x_2) \in M, il n'existe pas dans M de plus court chemin qui le relie au point symétrique q = ( − x1, − x2). L'espace métrique M n'est d'ailleurs pas complet : il suffit de considérer une suite de points qui admet comme limite dans \mathbb{R}^2 le point {0}.


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