Surface d'egale pente

Surface d'egale pente

Surface d'égale pente

Dans la famille des surfaces paramétrées et orientées de R3, une surface d'égale pente α s'appuyant sur une courbe plane c tracée sur le plan horizontal {z = 0} est l'enveloppe des plans tangents à la courbe c dont la normale fait un angle α avec la verticale.

Paramétrisation

On suppose que la courbe c est paramétrée par sa longueur d'arcs. Un paramétrage possible de la surface d'égale pente α s'appuyant sur c est donnée par :

c(s,v)=\begin{pmatrix}
x(s)-vy'(s)\cos\alpha\\
y(s)+vx'(s)\cos\alpha\\
v\sin\alpha
\end{pmatrix}

Évidemment, une fois la formule donnée, il est facile de vérifier a posteriori que le paramétrage est acceptable. Les éléments de démonstration suivants montrent comment arriver naturellement à poser un tel paramétrage :



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