Méthode de la sécante

Méthode de la sécante

En analyse numérique, la méthode de la sécante est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction f.

Sommaire

La méthode

Cette méthode est utilisable si f continue et si l'on a deux valeurs a et b telles que f(a)*f(b)<0.

La méthode de la sécante est une méthode dérivée de celle de Newton où l'on remplace f'(x_n)\, par \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}. On obtient la relation de récurrence :

x_{n+1} = x_n - \frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})} f(x_n).

L'initialisation nécessite deux points x0 et x1, proches, si possible, de la solution recherchée.

Démonstration

La courbe rouge représente la fonction f et le segment en bleu, la sécante.

Étant donnés a et b, on construit la droite passant par (a, f(a)) et (b, f(b)). Son équation est :

 y - f(b) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-b).

On choisit c égal à l'abscisse du point d'ordonnée nulle de cette droite.

 f(b) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (c-b) = 0.

Si on extrait c de cette équation, on retrouve la relation de récurrence citée plus haut :

 c = b - \frac{b-a}{f(b)-f(a)} f(b),

avec

c = xn + 1, b = xn, a = xn − 1.

Convergence

Si les valeurs initiales x0 et x1 sont suffisamment proches de la solution, la méthode aura un ordre de convergence de

 \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \simeq 1,618 qui est le nombre d'or.

Toutefois, la fonction f doit être deux fois continûment différentiable et la solution doit être une racine simple de f.

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Méthode de la sécante de Wikipédia en français (auteurs)

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