Méthode de Romberg

En analyse numérique, la méthode d'intégration de Romberg est une méthode récursive de calcul numérique d'intégrale, basée sur l'application du procédé d'extrapolation de Richardson à la méthode des trapèzes. Cette technique d'accélération permet d'améliorer l'ordre de convergence de la méthode des trapèzes, en appliquant cette dernière à des divisions dyadiques successives de l'intervalle d'étude et en en formant une combinaison judicieuse.

Principe

On souhaite calculer l'intégrale $I = \int_a^b f(x) \, dx$ d'une fonction f supposée régulière sur $[a, b]$ en subdivisant $[a, b]$ en n sous-intervalles identiques (n pair, $n = 2 p$ par exemple), du type $[a + k h, a + (k + 1) h]$ pour $k = 0,..., n - 1$ et $h = (b - a) / n$ . La méthode des trapèzes, notée T(n), est définie à l'aide de cette grille régulière :

$T(n) = \frac{h}{2} \left[\sum_{k=0}^{n} \omega_k f(a + k h)\right]$

où les pondérations $ω k$ sont égales à 1 pour les points extrêmes, et à 2 pour les autres. Puisque la méthode est exacte pour un polynôme de degré 1 (méthode d’ordre 1), l'erreur commise, notée $E = I-T(n)\,$ , vérifie

$E(h) = c_1 h^2 + c_2 h^4 + c_3 h^6 \cdots.$

Cette relation exprime le fait que la méthode des trapèzes présente une erreur proportionnelle à $h 2$ ; on dit qu'elle est en $O (h 2)$ .

Des manipulations algébriques fournissent une approximation de $I$ en $O (h 4)$ . Pour ce faire, il s'agit d'éliminer le terme en $h 2$ dans le développement de l'erreur. On y parvient en considérant la quantité [4 T(n) – T(n/2)]/3, qui correspond précisément à la méthode de Simpson. Le même procédé peut être reconduit, permettant ainsi d'annuler successivement les termes en $h^4, h^8, \ldots$ , conduisant ainsi à des approximations de $I$ qui sont de plus en plus précises.

Algorithme

Formalisations de la technique précédente de réduction de l'erreur :

Initialisations :

$R(0,0) = \frac{1}{2} (b-a) (f(a) + f(b)).$

$R(n,0) = T(2^n) , \,$

soit le résultat de la méthode des trapèzes basée sur

$h_n = \frac{b-a}{2^n}.$

Récurrence :

$R(n,m) = \frac{4^mR(n, m-1)-R(n-1,m-1)}{4^{m}-1}$

On montre par récurrence que l'approximation à l’étape n, soit R(n,n), fournit une approximation de $I$ qui est en $O(h_n^{2n+2})$ , ceci à condition que la fonction soit de classe $\mathcal{C}^{2n+2}$ (ou $\mathcal{C}_I^{2n+2}$ ). Le calcul de R(n,n) est exact pour les polynômes de degré 2 n + 1 : elle d’ordre 2 n + 1.

L'algorithme peut être représenté sous la forme d'un tableau. La première diagonale R(n, n) fournit les approximations successives ; la première colonne R(n, 0) correspond (par définition) à la méthode du trapèze, la seconde R(1, n) reflète la méthode de Simpson, la troisième celle de Boole qui est la formule de Newton-Cotes à 5 points appliquée à une décomposition en $2 n - 2 + 1$ sous-intervalles. Par contre, les colonnes suivantes correspondent à des formules de quadrature différentes de celles de Newton-Cotes d’ordre supérieur, évitant ainsi les problèmes d’instabilité.

En pratique

Critère d’arrêt

Pour obtenir une approximation de $I$ avec une précision $ε > 0$ donnée, le critère d'arrêt est satisfait lorsque $|R(n, n)-R(n-1, n-1)|<\epsilon$ . Ceci implique généralement $|R(n, n)-I|<\epsilon$ .

Redondances

Lorsque l’évaluation de la fonction $f$ (en un point) comporte un certain coût de traitement, il est préférable d’éviter d’appliquer brutalement la méthode du trapèze avec $2^n\,$ subdivisions pour des valeurs croissantes de $n$ .

En se basant sur la formule suivante :

$2 T(2 k) = T(k) + h \sum_{j=1}^k f(a + (j-1/2)h)$

avec $h k = b - a$ , l’initialisation $R(n,0) = T(2^n)\,$ est avantageusement remplacée par la relation récursive :

$R(n,0) = \frac{1}{2} R(n-1,0) + h_n \sum_{j=1}^{2^{n-1}} f(a + (2j-1)h_n).$

Ceci permet de réduire d’un facteur 2 le nombre total d’évaluations de $f$ qui, pour déterminer $R (n,0)$ , atteint ainsi $2 n + 1$ .

Cette astuce n’a pas été implantée dans le programme ci-dessous afin de préserver sa clarté.

Subdivision initiale

Décomposer $[a, b]$ en $p$ morceaux avant d’appliquer la méthode de Romberg sur chacun d’eux peut être utile lorsque la fonction n’est pas assez régulière (limitation de $n$ ), ou encore lorsqu’elle est régulière uniquement sur chacun des morceaux.

Dans le cas contraire, une subdivision initiale présente généralement peu d’intérêt. Il ne faut cependant pas s'attendre à une amélioration considérable de la précision par la seule augmentation du nombre d'itérations : en effet, bien que le terme $h_n^{2n+2}$ diminue à chaque itération, le coefficient multiplicateur peut augmenter considérablement puisqu'il se réfère à des dérivées d'ordres plus élevés.

Exemple

A intégrer $f(t) = 2/(1 + 4t^2)\,$ sur [-1,2]. On trouve $I = \arctan(4)+\arctan(2) \simeq 2,432966381462123$ . La matrice de l'algorithme est

	k=0	1	2	3	4
p=0	0,7764705882
1	1,8882352941	2,2588235294
2	2,3510141988	2,5052738337	2,5217038540
3	2,4235526286	2,4477321053	2,4438959900	2,4426609446
4	2,4307735880	2,4331805744	2,4322104723	2,4320249879	2,4319832783

d'où l'on tire les approximations consécutives

k	R(k)
0	0,77647058823529
1	2,25882352941176
2	2,52170385395538
3	2,44266094457555
4	2,43198327829659

Voir aussi

Lien externe

(en) Recursive integration formulas from Romberg integration

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Catégorie :

Intégration numérique

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