Mesure signée

Mesure signée

En mathématiques, on définit une mesure signée comme étant une mesure pouvant prendre des valeurs négatives.

Définition

Soit un espace mesurable (X, Σ), c'est-à-dire un ensemble X muni d'une tribu Σ, une mesure signée est une fonction

\mu:\Sigma\to\R\cup\{\infty,-\infty\}

qui est également sigma additive, c'est-à-dire remplissant la propriété:

\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)

pour toute suite A1, A2, ..., An, ... d'ensembles disjoints dans Σ. A noter qu'une mesure signée peut prendre comme valeur +∞ mais pas −∞, ou inversement, puisque l'expression ∞−∞ n'est pas définie (voir Droite réelle achevée), et doit donc être évitée.

Pour clarifier, on explicitera le terme de mesure positive, au lieu du simple mesure, pour les mesures signées n'ayant pas de valeurs strictement négatives.



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