- Matrice de Hamilton
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Matrice hamiltonienne
En mathématiques, une matrice hamiltonienne (ou de Hamilton) A est une matrice réelle 2n×2n satisfaisant la condition que le produit KA soit symétrique, K étant la matrice antisymétrique :
et In étant la matrice identité n×n. En d'autres termes, A est hamiltonienne si et seulement si :
Dans l'espace vectoriel des matrices 2n×2n, les matrices hamiltoniennes forment un sous-espace vectoriel de dimension 2n2 + n.
Sommaire
Propriétés
- Soit M une matrice par bloc 2n×2n donnée par :
- où A,B,C,D sont des matrices n×n. Alors M est une matrice hamiltonienne à condition que B,C soient symétriques et que A + DT = 0.
- La transposée d'une matrice hamiltonienne est hamiltonienne.
- La trace d'une matrice hamiltonienne est nulle.
- Le commutateur de deux matrices hamiltoniennes est hamiltonien.
- Les valeurs propres de M sont symétriques par rapport à l'axe imaginaire.
L'espace des matrices hamiltoniennes est une algèbre de Lie [1].
Opérateurs hamiltoniens
Soit V un espace vectoriel, doté d'une forme symplectique Ω. Une application linéaire est appelée opérateur hamiltonien par rapport à Ω si l'application est symétrique. De manière équivalente, elle doit satisfaire :
- Ω(A(x),y) = − Ω(x,A(y))
Soit une base e1,...e2n de V telle que Ω soit écrite . un opérateur linéaire est hamiltonien par rapport à Ω si et seulement si sa matrice dans cette base est hamiltonienne[2]. Cette définition implique que le carré d'une matrice hamiltonienne est anti-hamiltonien. L'exponentiel d'une matrice hamiltonienne est symplectique, et le logarithme d'une matrice symplectique est hamiltonien.
Voir aussi
Références
- ↑ (en) Alex J. Dragt, The Symplectic Group and Classical Mechanics'' Annals of the New York Academy of Sciences (2005) 1045 (1), 291-307.
- ↑ (en) William C. Waterhouse, The structure of alternating-Hamiltonian matrices, Linear Algebra and its Applications, Volume 396, 1er février 2005, Pages 385-390
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hamiltonian matrix ».
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Catégorie : Matrice - Soit M une matrice par bloc 2n×2n donnée par :
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